Modulbeschreibung

Modul: Approximation und Stabilität

Lehrveranstaltungen:

TitelTypSWSZeitraum
Approximation und StabilitätVorlesung3Sommersemester
Approximation und StabilitätGruppenübung1Sommersemester

Modulverantwortlich:

Prof. Marko Lindner

Zulassungsvoraussetzungen:

Keine

Empfohlene Vorkenntnisse:

  • Lineare Algebra: lin. Gleichungssystem, lin. Ausgleichsproblem, Eigenwerte, Singulärwerte
  • Analysis: Folgen, Reihen, Differential- und Integralrechnung

Modulziele / angestrebte Lernergebnisse:

Fachkompetenz

Wissen

Die Studierenden können

  • funktionalanalytische Grundlagen (Hilbertraum, Operatoren) skizzieren und gegenüberstellen
  • Approximationsverfahren benennen und verstehen
  • Stabilitätsresultate angeben
  • spektrale Größen, Konditionszahlen, Regularisierungsmethoden diskutieren
Fertigkeiten

Die Studierenden können

  • funktionalanalytische Grundlagen (Hilbertraum, Operatoren) anwenden,
  • Approximationsverfahren anwenden,
  • Stabilitätsresultate anwenden,
  • spektrale Größen berechnen,
  • Regularisierungsmethoden anwenden

 

Personale Kompetenzen

Sozialkompetenz

Die Studierenden können fachspezifische Aufgaben gemeinsam bearbeiten und ihre Ergebnisse in geeigneter Weise vor der Gruppe präsentieren (z.B. als Seminarvortrag).

Selbstständigkeit
  • Studierende können eigenständig ihr Verständnis mathematischer Konzepte überprüfen, noch offene Fragen auf den Punkt bringen und sich gegebenenfalls gezielt Hilfe holen.
  • Studierende haben eine genügend hohe Ausdauer entwickelt, um auch über längere Zeiträume an schwierigen Problemstellungen zu arbeiten.

Leistungspunkte Modul:

6 LP

Studienleistung:

Mündliche Prüfung

Arbeitsaufwand in Stunden:

Eigenstudium: 124, Präsenzstudium: 56


Lehrveranstaltung: Approximation und Stabilität

Dozent:

Marko Lindner

Sprache:

Deutsch & Englisch

Zeitraum:

Sommersemester

Inhalt:

Es geht um die Lösung folgender Grundprobleme der linearen Algebra

  • lineare Gleichungssysteme,
  • lineare Ausgleichsprobleme,
  • Eigenwertprobleme

in Funktionenräumen (d.h. in Vektorräumen mit unendlicher Dimension) durch stabile Approximation des Problems in einem Raum mit endlicher Dimension.

Ablauf:

  • Crashkurs Hilbertraum: Metrik, Norm, Skalarprodukt, Vollständigkeit
  • Crashkurs Operatoren: Beschränktheit, Norm, Kompaktheit, Projektoren
  • gleichmäßige vs. starke Konvergenz, Approximationsverfahren
  • Anwendbarkeit / Stabilität von Approx.verfahren, Satz von Polski
  • Galerkinverfahren, Kollokation, Splineinterpolation, Abschneideverfahren
  • Faltungs- und Toeplitzoperatoren
  • Crashkurs C∗-Algebren
  • Konvergenz von Konditionszahlen
  • Konvergenz spektraler Größen: Spektrum, Eigenwerte, Singulärwerte, Pseudospektrum
  • Regularisierungsverfahren (truncated SVD, Tichonov)

Literatur:

  • R. Hagen, S. Roch, B. Silbermann: C∗-Algebras in Numerical Analysis
  • H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis
  • M. Lindner: Infinite matrices and their finite sections
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